Se dice que un suceso A es más probable que otro B si al realizar
el experimento muchas veces, A ocurre significativamente más veces que B.
La escena nos mostrará la frecuencia relativa de algunos sucesos
al tirar el dado. Tira el dado unas 10 o 20 veces y a continuación pulsa los
botones 1000 tiradas y 10000 tiradas.
Los posibles sucesos elementales al tirar el dado tienen
prácticamente igual frecuencia relativa cuando realizamos más de 10000 tiradas.
Las frecuencias relativas no varían significativamente después de realizar un
gran número de tiradas
¿Estarías de acuerdo, a la vista de los resultados, en decir que
la probabilidad de sacar un 2 es 1/6?
La probabilidad se mide entre 0 (probabilidad del suceso
imposible) y 1 o 100% (probabilidad del suceso seguro).
En ocasiones realizamos acciones, por ejemplo
lanzar una moneda al aire, en las que conocemos de antemano los posibes
resultados que se pueden dar (cara o cruz) pero no sabemos exactamente cual de
ellos se va a dar.
Lo mismo
ocurre cuando lanzamos un dado: sabemos que puede salir 1, 2, 3, 4, 5, o 6,
pero no sabemos cual de ellos saldrá.
Los resultados
de estas acciones dependen del azar:
Sabemos cuales pueden ser pero es imposible
determinar de antemano cual será.
La probabilidad mide las posibilidades de que cada uno
de los posibles resultados en un suceso que depende del azar sea finalmente el
que se de.
Por ejemplo: la probabilidad mide la posibilidad
de que salga "cara" cuando lanzamos una moneda, o la posibilidad de
que salga 5 cuando lanzamos un dado.
1.- Sucesos
Llamamos sucesos a los posibles resultados de una
acción que depende del azar.
Distinguimos 3
tipos de sucesos:
Suceso posible: Es un
resultado que se puede dar.
Por ejemplo, el 5 es un suceso posible cuando
lanzamos un dado.
Suceso
imposible: Es un resultado que no se puede dar.
Por ejemplo, el 7 es un suceso imposible cuando
lanzamos un dado (el dado no tiene el número 7).
Suceso seguro: Es un
resultado que siempre se va a dar.
Por ejemplo, "número menor de 7" es un
suceso seguro cuando lanzamos un dado (cualquier número que salga al lanzar el
dado será menor que 7).
2.-
Probabilidades de los sucesos
Dentro de los sucesos posibles vamos a distinguir:
Suceso igual de
probable: es aquel resultado que tiene la misma probabilidad que los
demás:
Por ejemplo: cuando lanzamos una moneda, el suceso
"cara" tiene las mismas probabilidades que el suceso
"cruz".
Suceso muy
probable: es aquel resultado que tiene muchas probabilidades de darse:
Por ejemplo: en una bolsa con 100 bolitas
numeradas del 1 al 100, el suceso "sacar una bola con un número entre 1 y
98" tiene muchas probabilidades de ocurrir.
Suceso poco
probable: es aquel resultado que tiene muy pocas probabilidades de darse:
Por ejemplo: en una bolsa con 100 bolitas, 99
blanca y 1 negra, el suceso "sacar la bolsa negra" tiene pocas
probabilidades de ocurrir.
3.- Cálculo
de probabilidades
Para calcular
probabilidades se utiliza la siguiente fórmula:
Probabilidad =
Casos favorables / Casos posibles
El resultado se multiplica por 100 para expresarlo en porcentaje.
Veamos algunos ejemplos:
a) Calcular la
probabilidad de que salga "cara" al lanzar una moneda:
Casos favorables: 1 (que salga "cara")
Casos posibles: 2 (puede salir "cara" o
"cruz")
Probabilidad = (1 / 2 ) * 100 = 50 %
b) Calcular la
probabilidad de que salga "3" al lanzar un dado:
Casos favorables: 1 (que salga "3")
Casos posibles: 6 (puede salir "1, 2, 3, 4, 5 o 6")
Probabilidad = (1 / 6 ) * 100 = 16,6 %
c) Calcular la
probabilidad de que salga "un número entre 1 y 4 " al lanzar un dado:
Casos favorables: 4 (sería válido cualquiera de los siguientes
resultados "1, 2, 3, o 4")
Casos posibles: 6 (puede salir "1, 2, 3, 4, 5 o 6")
Probabilidad = (4 / 6 ) * 100 = 66,6 %
d) Calcular la
probabilidad de que salga el número 76 al sacar una bolita de una bolsa con 100
bolitas numeradas del 1 al 100:
Casos favorables: 1 (sacar el número 76)
Casos posibles: 100 (hay 100 números en la bolsa)
Probabilidad = (1 / 100 ) * 100 = 1 %
e) Calcular la
probabilidad de que salga "un número entre 1 y 98" al sacar una
bolita de una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100:
Casos favorables: 98 (valdría cualquier número entre 1 y 98)
Casos posibles: 100 (hay 100 números en la bolsa)
Probabilidad = (98 / 100 ) * 100 = 98 %
La probabilidad es una medición numérica que va de 0 a 1 de la posibilidad de que un evento
ocurra. Si da cerca de 0 es improbable que ocurra el evento y si da cerca de
uno es casi seguro que ocurra.
P (a): nº de resultados en que ocurra a
Nº de resultados posibles
Tipos de sucesos
·
·
Exhaustivo: se dice que dos o más sucesos son exhaustivos si se consideran
todos los posibles resultados.
Simbólicamente: p (A o B o...) = 1
·
No exhaustivos: se dice que dos o más sucesos son exhaustivos si no cubren
todos los posibles resultados.
·
Mutuamente excluyentes: sucesos que no pueden ocurrir en forma simultánea:
P(A y B) = 0 y p(A o B) = p(A) + p (B)
Ejemplo: hombres, mujeres
·
No mutuamente excluyentes: sucesos que pueden ocurrir en forma simultánea:
P (A o B) = p (A) + p (B) ? p (A y B)
Ejemplo: hombres, ojos cafés
·
Independientes: Sucesos cuya probabilidad no se ve afectada por la
ocurrencia o no ocurrencia del otro :
P ( AI B ) = P ( A ); P ( BIA ) = P (B) Y P (A Y B) = P(A) P(B)
Ejemplo: sexo y color de ojos
·
Dependientes: sucesos cuya probabilidad cambia dependiendo de la ocurrencia
o no ocurrencia del otro:
P ( AI B ) difiere de p (A); P ( BIA ) difiere de P(B);
Y P (A Y B)= P ( A ) P ( BIA )= P (B) P ( AI B )
Ejemplo: raza y color de ojos
Distribución maestral
El diagrama de árbol es muy útil para visualizar las probabilidades
condicional y conjunta y en particular para el análisis de decisiones
administrativas que involucran varias etapas.
EJEMPLO: una bolsa contiene 7 fichas rojas (R) y 5 azules (B), se escogen 2
fichas, una después de la otra sin reemplazo. Construya el diagrama de árbol
con esta información.
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